Question

12．已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂+a_m=2a₃=10，S_m=16（m∈N^*），各项都为正数的等比数列{b_n}的公比q小于1，且b₁，b₃是方程81x²-30x+1=0的两根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用一元二次方程的解法可得b₁，b₃．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵a₂+a_m=2a₃=10，S_m=16（m∈N^*），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2a}_{1}+md=10}\\{{a}_{1}+2d=5}\\{m{a}_{1}+\frac{m（m-1）}{2}d=16}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2，m=4．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵b₁，b₃是方程81x²-30x+1=0的两根，0＜q＜1，
∴b₁=27，b₃=3，
∴27q²=3，解得q=$\frac{1}{3}$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{27（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{81}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．