Question

1．已知：数列{a_n}，{b_n}满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=2{a}_{n-1}+{b}_{n-1}}\\{{b}_{n}=3{a}_{n-1}+4{b}_{n-1}}\end{array}\right.$（n≥2）且a₁=2，b₁=3，求a_n，b_n的通项公式．

Answer 1

分析 数列{a_n}，{b_n}满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=2{a}_{n-1}+{b}_{n-1}}\\{{b}_{n}=3{a}_{n-1}+4{b}_{n-1}}\end{array}\right.$（n≥2）且a₁=2，b₁=3，可得a₂=7，b₂=18．变形可得：${a}_{n}=\frac{2}{3}{b}_{n}-\frac{5}{3}{b}_{n-1}$，当n≥3时，${a}_{n-1}=\frac{2}{3}{b}_{n-1}-\frac{5}{3}{b}_{n-2}$．代入可得：b_n-b_n-1=5（b_n-1-b_n-2）．利用等比数列的前n项和公式可得：b_n-b_n-1=3×5^n-1．再利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁可得b_n，进而得到a_n．

解答 解：∵数列{a_n}，{b_n}满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=2{a}_{n-1}+{b}_{n-1}}\\{{b}_{n}=3{a}_{n-1}+4{b}_{n-1}}\end{array}\right.$（n≥2）且a₁=2，b₁=3，
∴a₂=7，b₂=18，a₃=32，b₃=93．
变形可得：3a_n-2b_n=3b_n-1-8b_n-1=-5b_n-1，∴${a}_{n}=\frac{2}{3}{b}_{n}-\frac{5}{3}{b}_{n-1}$，
∴当n≥3时，${a}_{n-1}=\frac{2}{3}{b}_{n-1}-\frac{5}{3}{b}_{n-2}$．
∴b_n=2b_n-1-5b_n-2+4b_n-1，
变形为：b_n-b_n-1=5（b_n-1-b_n-2）．
∴数列{b_n-b_n-1}（n≥2）是等比数列，首项为15，公比为5，
∴b_n-b_n-1=15×5^n-2=3×5^n-1．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=3（5^n-1+5^n-2+…+5）+3
=$3×\frac{5（{5}^{n-1}-1）}{5-1}$+3
=$\frac{3×{5}^{n}-3}{4}$．
∴当n≥2时，a_n=$\frac{2}{3}×\frac{3×{5}^{n}-3}{4}$-$\frac{5}{3}×\frac{3×{5}^{n-1}-3}{4}$=$\frac{{5}^{n}+3}{4}$．
当n=1时上式也成立．
∴a_n=$\frac{{5}^{n}+3}{4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”方法、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．