题目内容

设函数f(x)在(-3,3)上是奇函数,且对任意x,y都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x<0时,f(x)>0,f(1)=-2
(1)求f(2)的值;
(2)判断f(x)的单调性,并证明;
(3)若函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),求不等式g(x)≤0的解集.
分析:(1)令x=2,y=1,由f(x)-f(y)=f(x-y)及f(1)=-2即可求得f(2);
(2)在f(x)-f(y)=f(x-y)中,令x=x1,y=x2,结合已知条件及函数的单调性可以作出判断;
(3)由奇函数的性质,g(x)≤0可化为f(x-1)-f(2x-3)≤0,也即f(x-1)≤f(2x-3),依据(2)问的单调性及函数定义域可得一不等式组,解出即可.
解答:解:(1)令x=2,y=1,
由f(x)-f(y)=f(x-y),得f(2)-f(1)=f(2-1)=f(1),
又f(1)=-2,解得f(2)=-4.
(2)f(x)在(-3,3)上是减函数.
证明:在(-3,3)上任取x1,x2,且x1<x2,则x1-x2<0,
令x=x1,y=x2
由f(x)-f(y)=f(x-y),得f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),
∵当x<0时,f(x)>0,且x1-x2<0,
∴f(x1-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-3,3)上是减函数.
(3)由函数f(x)在(-3,3)上是奇函数,
得g(x)=f(x-1)+f(3-2x)=f(x-1)-f(2x-3),
g(x)≤0的解集即是f(x-1)-f(2x-3)≤0的解集.
f(x-1)-f(2x-3)≤0即是f(x-1)≤f(2x-3),
由(2)知奇函数f(x) 在(-3,3)上是减函数,
则有
x-1≥2x-3
-3<x-1<3
-3<2x-3<3
,解得0<x≤2.
∴不等式g(x)≤0的解集为{x|0<x≤2}.
点评:本题考查抽象函数的单调性、奇偶性以及抽象不等式的解法,定义及函数性质是解决抽象函数问题的主要依据.
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