Question

已知f₁（x）=3^|x-1|，f₂（x）=a•3^|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=

f1(x)    f1(x)≤f2(x)  f2(x)    f1(x)＞f2(x)

（1）若f（x）=f₁（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；
（2）设t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．设函数f（x）在区间[0，t]上的单调递增区间的长度之和为d（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），求

d

t

；
（3）设g（x）=x²-2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据定义，问题等价于“f₁（x）≤f₂（x）恒成立”，从而进一步转化为具体不等式恒成立问题，利用最值法可求a的取值范围；
（2）利用定义，分两类f（x）=f₁（x），与f（x）=f₂（x），分别求出单调递增区间的长度和与相应的t的值，从而可解；
（3）对任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），等价于f（x）_min≥g（x）_min，分别求出相应的最小值即可解得．

解答：解：（1）“f（x）=f₁（x）对所有实数都成立”等价于“f₁（x）≤f₂（x）恒成立”，即3^|x-1|≤a•3^|x-2|，即|x-1|-|x-2|≤log₃a恒成立，…（2分）（|x-1|-|x-2|）_max=1，所以log₃a≥1，a的取值范围是[3，+∞）．      …（4分）
（2）由（1）可知，当a∈[3，+∞）时，f（x）=f₁（x），f（0）=3，所以t=2，函数的对称轴为x=1，函数f（x）在[0，1]上单调递减；在[1，2]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=1，

d

t

=

1

2

．                                                        …（6分）
当f₂（x）≤f₁（x）恒成立时，即|x-1|-|x-2|≥log₃a恒成立，（|x-1|-|x-2|）_min=-1，所以log₃a≤-1．
当a∈(0，

1

3

]时，f（x）=f₂（x）=a•3^|x-2|，函数的对称轴为x=2，由f（0）=f（t），可得t=4．函数f（x）在[0，2]上单调递减；在[2，4]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=2，

d

t

=

1

2

．                                                      …（8分）
当a∈(

1

3

，3)时，解不等式3^|x-1|≤a•3^|x-2|，即解|x-1|-|x-2|≤log₃a，其中-1＜log₃a＜1，解得x≤

3

2

+

1

2

log3a，
所以 f(x)=

3|x-1       x≤ 3 2 + 1 2 log3a  a•3|x-2    x＞ 3 2 + 1 2 log3a

且1＜

3

2

+

1

2

log3a＜2，f（0）=3，而f（t）=a•3^t-2=3，t=3-log₃a，
函数f（x）在[1，

3

2

+

1

2

log3a]，[2，3-log₃a]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=(3-log3a-2)+(

3

2

+

1

2

log3a-1)=

3

2

-

1

2

log3a，

d

t

=

1

2

．           …（11分）
（3）当a=2时，f(x)=

3|x-1       x≤ 3 2 + 1 2 log32  2•3|x-2    x＞ 3 2 + 1 2 log32

即要f（x）_min≥g（x）_min，…（14分）f（x）_min=1．g（x）=（x-b）²+2，当x∈[1，2]时，g(x)min=

4-2b，b＜1 3-b2 1≤b≤2 7-4b，b＞2

所以b的取值范围是[

2

，+∞)．                                        …（18分）

点评：本题主要考查恒成立问题的处理策略，考查学生等价转化问题的能力，有一定的综合性．