题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A、B为椭圆C的左右顶点,直线与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A、B的动点,直线AP、BP分别交直线
于E、F两点,当点P在椭圆C上运动时,
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)为定值1
【解析】
(1) 由题意可知,
,结合
,可求出椭圆方程.
(2) 设,则直线AP的方程为
,求出
,同理得出
,将点
在椭圆上这个条件代入,可得到答案.
(1)由题意可知
又因为且
,解得
,
所以椭圆C的方程为;
(2)为定值1.
由题意可得:,设
,由题意可得:
,
所以直线AP的方程为,令
,则
,
即;
同理:直线BP的方程为,令
,则
,
即;
所以
而,即
,
代入上式得,
所以为定值1.

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