题目内容
【题目】解答题。
(1)如图,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真.
(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)
【答案】
(1)证明:证法一:如图,过直线b上任一点作平面α的垂线n,设直线a,b,c,n对应的方向向量分别是 ,则 共面,
根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得 ,
则 =
因为a⊥b,所以 ,
又因为aα,n⊥α,
所以 ,
故 ,从而a⊥c
证法二
如图,记c∩b=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P做PO⊥π,垂足为O,则O∈c,
∵PO⊥π,aπ,
∴直线PO⊥a,
又a⊥b,b平面PAO,PO∩b=P,
∴a⊥平面PAO,
又c平面PAO,
∴a⊥c
(2)证明:逆命题为:a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b,
逆命题为真命题
【解析】(1)证法一:做出辅助线,在直线上构造对应的方向向量,要证两条直线垂直,只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0,根据向量的运算法则得到结果.证法二:做出辅助线,根据线面垂直的性质,得到线线垂直,根据线面垂直的判定定理,得到线面垂直,再根据性质得到结论.(2)把所给的命题的题设和结论交换位置,得到原命题的逆命题,判断出你命题的正确性.
练习册系列答案
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【题目】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
(1)画出散点图并判断是否线性相关;
(2)如果线性相关,求线性回归方程;
(3)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?