Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E为BC上的动点．

（1）当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE；
（2）设PA=1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P﹣ED﹣A的平面角大小为 ．试确定点E的位置．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

不妨设AP=a，则P（0，0，a），E（1，1，0），D（0，2，0），

从而 ，

于是 =（1，1，﹣a）（1，﹣1，0）=0，

所以 ，所以PE⊥DE

（2）解：设BE=x，则P（0，0，1），E（1，x，0），D（0，2，0），

则

向量 为平面AED的一个法向量．设平面PDE的法向量为 ，

则应有 即 解之得c=2b，令b=1，则c=2，a=2﹣x，

从而 ，

依题意 = ，即 ，解之得 （舍去），

所以点E在线段BC上距B点的 处

【解析】（1）建立空间直角坐标系，设AP=a，用坐标表示点与向量，证明 =0，即可证PE⊥DE；（2）设BE=x，求得向量 为平面AED的一个法向量，平面PDE的法向量 ，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．