Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosA=2c-$\sqrt{3}$a．
（1）求角B的大小；
（2）已知点M为AC的中点，若a+c=4，求线段BM长度的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由2bcosA=2c-$\sqrt{3}$a，利用正弦定理，即可求角B的大小；
（2）利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，即可求线段BM长度的取值范围．

解答 解：（1）∵2bcosA=2c-$\sqrt{3}$a．
∴由正弦定理可得：2sinBcosA=2sinC-$\sqrt{3}$sinA=2sin（A+B）-$\sqrt{3}sinA$=2sinAcosB+2cosAsinB-$\sqrt{3}$sinA，
∴可得：2sinAcosB=$\sqrt{3}$sinA，
∵0＜A＜π，sinA≠0，
∴解得：cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合：0＜B＜π，可得：B=$\frac{π}{6}$．
（2）由余弦定理可得AC²=a²+c²-$\sqrt{3}$ac，
由AC²+（2BM）²=2（a²+c²），
可得BM²=$\frac{1}{4}$（a²+c²+$\sqrt{3}$ac）=$\frac{1}{4}$[16-（2+$\sqrt{3}$）ac]，
∵a+c=4≥2$\sqrt{ac}$，∴0＜ac≤4，
∴2-$\sqrt{3}$≤BM＜4．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．