Question

若存在实常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x²,φ(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数).

(1)求F(x)=h(x)-φ(x)的极值;

(2)函数h(x)和φ(x)是否存在隔离直线？若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)∵F(x)=h(x)-φ(x)=x²-2elnx(x＞0),

∴F′(x)=2x=.

当x=e时,F′(x)=0.

∵当0＜x＜时,F′(x)＜0,此时函数F(x)递减;

当x＞时,F′(x)＞0,此时函数F(x)递增;

∴当x=时,F(x)取极小值,其极小值为0.

(2)由(1)可知函数h(x)和φ(x)的图象在x=处有公共点,因此若存在h(x)和φ(x)的隔离直线,则该直线过这个公共点.

设隔离直线的斜率为k,则直线方程为y-e=k(x-),

即y=kx+e-k.

由h(x)≥kx+e-k(x∈R),可得x²-kx-e+k≥0当x∈R时恒成立.

∵Δ=(k-2)²,

∴由Δ≤0,得k=2.

下面证明φ(x)≤2x-e当x＞0时恒成立.

令G(x)=φ(x)-2x+e=2elnx-2x+e,则

G′(x)=-2,

当x=时,G′(x)=0.

∵当0＜x＜时,G′(x)＞0,此时函数G(x)递增;

当x＞e时,G′(x)＜0,此时函数G(x)递减;

∴当x=时,G(x)取极大值,其极大值为0.

从而G(x)=2elnx-2x+e≤0,

即φ(x)≤2x-e(x＞0)恒成立.

∴函数h(x)和φ(x)存在唯一的隔离直线y=2x-e.