题目内容

若存在实常数k和b,使函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x恒有:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx,则可推知h(x),φ(x)的“隔离直线”方程为
y=2
e
x-e
y=2
e
x-e
分析:存在f(x)和g(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k.则隔离直线,构造函数,求出函数函数的导数,根据导数求出函数的最值
解答:解:令F(x)=h(x)-φ(x)=x2-2elnx(x>0),再令F′(X)=2x-
2e
x
=0,解得 x=
e

从而函数h(x)和φ(x)的图象在x=
e
处有公共点.
因此存在h(x)和φ(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k,则
隔离直线方程为y-e=k(x-
e
),即y=kx-k
e
+e.
由h(x)≥kx-k
e
+e可得 x2-kx+k
e
-e≥0当x∈R恒成立,
则△=k2-4k
e
+4e=(k-2
e
)
2
≤0,只有k=2
e
时,等号成立,此时直线方程为:y=2
e
x-e.
同理证明,由φ(x )≤kx-k
e
+e,可得只有k=2
e
时,等号成立,此时直线方程为:y=2
e
x-e.
综上可得,函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线y=2
e
x-e.
点评:本题以函数为载体,考查新定义,关键是对新定义的理解,考查函数的求导,利用导数求最值,属于难题.
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