Question

若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x²，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．
（1）求F（x）=h（x）-φ（x）的极值；
（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）和φ（x）的解析式，求出函数F（x）的解析式，根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值
（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（

e

，e）处相交，即f（x）和φ（x）若存在隔离直线，那么该直线必过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-

e

），即y=kx-k

e

+e，根据隔离直线的定义，构造方程，可求出k值，进而得到隔离直线方程．

解答：解：（1）∵F（x）=f（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0），
∴F′（x）=2x-

2e

x

=

2(x2-e)

x

=

2(x + e )(x - e )

x

令F′（x）=0，得x=

e

，
当0＜x＜

e

时，F′（x）＜0，x＞

e

时，F′（x）＞0
故当x=

e

时，F（x）取到最小值，最小值是0
（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（

e

，e）处相交，
因此存在f（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-

e

，即y=kx-k

e

+e
由f（x）≥kx-k

e

+e（x∈R），可得x²-kx+k

e

-e≥0当x∈R恒成立，
则△=k²-4k

e

+4e=（k-2

e

）²≤0，
∴k=2

e

，此时直线方程为：y=2

e

x-e，
下面证明φ（x）≤2

e

x-e^{exx＞0时恒成立
令G（x）=2}

e

x-e-φ（x）=2

e

x-e-2elnx，
G′（x）=2

e

-

2e

x

=（2

e

x-2c）/x=2

e

（x-

e

）/x，
当x=

e

时，G′（X）=0，当0＜x＜

e

时G′（x）＞0，
则当x=

e

时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2

e

x-e-g（x）≥0，则φ（x）≤2

e

x-e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和φ（x）存在唯一的隔离直线y=2

e

x-e

点评：本题考查的知识点是函数的求导，利用导数求最值，属于中档题，主要做题要仔细．