题目内容
【题目】已知函数,函数
是函数
的反函数.
求函数
的解析式,并写出定义域
;
设
,判断并证明函数
在区间
上的单调性:
若
中的函数
在区间
内的图像是不间断的光滑曲线,求证:函数
在区间
内必有唯一的零点(假设为
),且
.
【答案】(1);
;
(2)在区间
上是减函数,证明见解析;
(3)证明见解析.
【解析】
(1)根据和
得出
,此范围就是其反函数的定义域,再由
,可解得
,
,再将
互换得
,从而得函数
的解析式;
(2)设,则
,
,
,可得
,可得证;
(3)先判断函数的奇偶性,再由(2)得出
在上
的单调性,根据零点存在定理可得证.
,
,
,
,
又,
,
由,得
,
,
互换得
,
,定义域
在区间
上的单调递减,证明如下:
由(1)可知,,且定义域为
,
设,则
,
,
,
,
由得
,即
,
在区间
上是减函数;
对任意
,有
,
所以,函数是奇函数,
由(2)得在区间
上是减函数,所以函数
在
上单调递减,且在
上的图像也是不间断的光滑曲线,
又
,
所以,根据零点存在定理得:函数
在区间
上有且仅有唯一零点,
所以,函数在区间
上有且仅有唯一零点
,且
.
故得解.
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