题目内容

若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，都存在唯一的x2，使y=f（x1）f（x2）=1成立，则 称此函数为“滨湖函数”．下列命题正确的是
②③
②③
．（把你认为正确的序号都填上）
①y=
1
x2
是“滨湖函数”；
②y=
2
+sinx（x∈[-
π
2
，
π
2
]）I是“滨湖函数”；
③y=2x是“滨湖函数”；
④y=lnx是“滨湖函数”；
⑤y=f（x），y=g（x）都是“滨湖函数”，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是“滨湖函数”
分析：利用“滨湖函数”的定义，逐个分析①②③④⑤五个函数，能够得到结果．
解答：解：对于①，对应的x1，x2不唯一，
∴①不一定是“滨湖函数”；
对于②，函数y=
2
+sinx是[-
π
2
，
π
2
]上的单调增函数，
对[-
π
2
，
π
2
]内的每一个值x1，
2
+sinx1∈[
2
-1，
2
+1]，
1
2
+sinx1
∈[
2
-1，
2
+1)，
∴在[-
π
2
，
π
2
]内存在唯一的x2，使
2
+sinx2=
1
2
+sinx1
∈[
2
-1，
2
+1]成立，
∴②是“滨湖函数”；
对于③，∵y=2x，2x•2-x=1，
∴③是“滨湖函数”；
对于④，y=lnx有零点，∴④一定不是y=lnx“滨湖函数”；
对于⑤，∵y=f（x），y=g（x）都是“滨湖函数”，且定义域相同，
∴对于定义域中每一个x1，都存在唯一的x2，使y=f（x1）f（x2）=1和y=g（x1）g（x2）=1成立，
∵两个x2不一定相等，
∴y=f（x1）g（x1）•f（x2）g（x2）=1不一定成立，
∴⑤不是“滨湖函数”．
故答案为：②③．
点评：本题考查函数的性质的基本应用，解题时要认真审题，注意理解“滨湖函数”的概念．
练习册系列答案
相关题目
下列命题：
①G2=ab是三个数a、G、b成等比数列的充要条件；
②若函数y=f（x）对任意实数x都满足f（x+2）=-f（x），则f（x）是周期函数；
③对于命题p：?x∈R，2x+3＞0，则?p：?x∈R，2x+3＜0；
④直线
2
(x+y)+1+a=0与圆C：x2+y2=a（a＞0）相离．
其中不正确命题的序号为
 
（把你认为不正确的命题序号都填上）．
若函数y=f（x）对定义域D的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f（x1）f（x2）=1成立，则称f（x）为“自倒函数”，下列命题正确的是
（1），（3）
（1），（3）
．（把你认为正确命题的序号都填上）
（1）f（x）=sinx+
2
（x∈[-
π
2
，
π
2
]）是自倒函数；
（2）自倒函数f（x）的值域可以是R
（3）自倒函数f（x）可以是奇函数
（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是自倒函数．
若函数y=f（x）对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，恒有f（x）＜0
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；               
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）若f（2）=1，解不等式f（-x2）+2f（x）+4＜0．
已知函数y=f（x）是定义在R上的函数．
（1）若函数y=f（x）满足：f（xy）=f（x）+f（y），f(
1
3
)=1，
①求f（1），f(
1
9
)的值，
②若函数y=f（x）是定义域为R+的减函数，且f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
（2）若函数y=f（x）对一切x∈R满足f（x+2）=-f（x），求证：f（x）是周期函数；
（3）若函数y=f（x）对一切x、y∈R满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数．

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