题目内容

若函数y=f(x)对定义域D的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f(x1)f(x2)=1成立,则称f(x)为“自倒函数”,下列命题正确的是
(1),(3)
(1),(3)
.(把你认为正确命题的序号都填上)
(1)f(x)=sinx+
2
(x∈[-
π
2
π
2
])是自倒函数;
(2)自倒函数f(x)的值域可以是R
(3)自倒函数f(x)可以是奇函数
(4)若y=f(x),y=g(x)都是自倒函数,且定义域相同,则y=f(x)g(x)是自倒函数.
分析:(1)中,由f(x1)f(x2)=1,知f(x2)=
1
f(x1)
,可以求出x2是满足条件的;
(2)中,令f(x1)=0,可以判定f(x1)f(x2)=1不成立;
(3)中,当f(x)是奇函数时,不妨设f(x)=
1
x
,其中x∈(-∞,0)∪(0,+∞),验证满足条件;
(4)中,令f(x)=g(x)=
1
x
,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),是定义域上的自倒函数,但f(x)g(x)=
1
x2
不是自倒函数,验证可得;
解答:解:在(1)中,∵f(x)=sinx+
2
(x∈[-
π
2
π
2
]),
∴任取x1∈[-
π
2
π
2
],有sinx1∈[-1,1],
∴f(x1)=sinx1+
2
,且f(x1)∈[
2
-1,
2
+1];
由f(x1)f(x2)=1,得f(x2)=
1
f(x1)
=
1
sinx1+
2
,即sinx2+
2
=
1
sinx1+
2

∴sinx2=
1
sinx1+
2
-
2
,且sinx2∈[-1,1],
∴x2=arcsin(
1
sinx1+
2
-
2
),其中x2∈[-
π
2
π
2
],
∴f(x)是[-
π
2
π
2
]上的自倒函数;
在(2)中,因为f(x)的值域是R,所以当f(x1)=0时,f(x1)•f(x2)=0,命题不成立,
∴f(x)不是自倒函数;
在(3)中,当f(x)是奇函数时,不妨设f(x)=
1
x
,其中x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
则任取x1∈(-∞,0)∪(0,+∞),有f(x1)=
1
x1
∈(-∞,0)∪(0,+∞),
由f(x1)•f(x2)=
1
x1
1
x2
=1,得x2=
1
x1
,其中x2∈(-∞,0)∪(0,+∞),
∴f(x)是定义域上的自倒函数;
在(4)中,当y=f(x),y=g(x)都是自倒函数,且定义域相同时,函数y=f(x)g(x)不一定是自倒函数,例如f(x)=g(x)=
1
x
,其中x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
y=f(x)g(x)=
1
x2
不是自倒函数,因为由
1
x12
1
x22
=1,得x22=
1
x12

∴x2
1
x1
不唯一,∴命题不成立;
故答案为:(1),(3).
点评:本题考查了新概念下的函数的性质与运算,解决此类问题时,要深刻把握新概念函数的内涵与外延,从而正确解答问题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网