题目内容
若函数y=f(x)对定义域D的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f(x1)f(x2)=1成立,则称f(x)为“自倒函数”,下列命题正确的是
(1)f(x)=sinx+
(x∈[-
,
])是自倒函数;
(2)自倒函数f(x)的值域可以是R
(3)自倒函数f(x)可以是奇函数
(4)若y=f(x),y=g(x)都是自倒函数,且定义域相同,则y=f(x)g(x)是自倒函数.
(1),(3)
(1),(3)
.(把你认为正确命题的序号都填上)(1)f(x)=sinx+
2 |
π |
2 |
π |
2 |
(2)自倒函数f(x)的值域可以是R
(3)自倒函数f(x)可以是奇函数
(4)若y=f(x),y=g(x)都是自倒函数,且定义域相同,则y=f(x)g(x)是自倒函数.
分析:(1)中,由f(x1)f(x2)=1,知f(x2)=
,可以求出x2是满足条件的;
(2)中,令f(x1)=0,可以判定f(x1)f(x2)=1不成立;
(3)中,当f(x)是奇函数时,不妨设f(x)=
,其中x∈(-∞,0)∪(0,+∞),验证满足条件;
(4)中,令f(x)=g(x)=
,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),是定义域上的自倒函数,但f(x)g(x)=
不是自倒函数,验证可得;
1 |
f(x1) |
(2)中,令f(x1)=0,可以判定f(x1)f(x2)=1不成立;
(3)中,当f(x)是奇函数时,不妨设f(x)=
1 |
x |
(4)中,令f(x)=g(x)=
1 |
x |
1 |
x2 |
解答:解:在(1)中,∵f(x)=sinx+
(x∈[-
,
]),
∴任取x1∈[-
,
],有sinx1∈[-1,1],
∴f(x1)=sinx1+
,且f(x1)∈[
-1,
+1];
由f(x1)f(x2)=1,得f(x2)=
=
,即sinx2+
=
,
∴sinx2=
-
,且sinx2∈[-1,1],
∴x2=arcsin(
-
),其中x2∈[-
,
],
∴f(x)是[-
,
]上的自倒函数;
在(2)中,因为f(x)的值域是R,所以当f(x1)=0时,f(x1)•f(x2)=0,命题不成立,
∴f(x)不是自倒函数;
在(3)中,当f(x)是奇函数时,不妨设f(x)=
,其中x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
则任取x1∈(-∞,0)∪(0,+∞),有f(x1)=
∈(-∞,0)∪(0,+∞),
由f(x1)•f(x2)=
•
=1,得x2=
,其中x2∈(-∞,0)∪(0,+∞),
∴f(x)是定义域上的自倒函数;
在(4)中,当y=f(x),y=g(x)都是自倒函数,且定义域相同时,函数y=f(x)g(x)不一定是自倒函数,例如f(x)=g(x)=
,其中x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
y=f(x)g(x)=
不是自倒函数,因为由
•
=1,得x22=
,
∴x2=±
不唯一,∴命题不成立;
故答案为:(1),(3).
2 |
π |
2 |
π |
2 |
∴任取x1∈[-
π |
2 |
π |
2 |
∴f(x1)=sinx1+
2 |
2 |
2 |
由f(x1)f(x2)=1,得f(x2)=
1 |
f(x1) |
1 | ||
sinx1+
|
2 |
1 | ||
sinx1+
|
∴sinx2=
1 | ||
sinx1+
|
2 |
∴x2=arcsin(
1 | ||
sinx1+
|
2 |
π |
2 |
π |
2 |
∴f(x)是[-
π |
2 |
π |
2 |
在(2)中,因为f(x)的值域是R,所以当f(x1)=0时,f(x1)•f(x2)=0,命题不成立,
∴f(x)不是自倒函数;
在(3)中,当f(x)是奇函数时,不妨设f(x)=
1 |
x |
则任取x1∈(-∞,0)∪(0,+∞),有f(x1)=
1 |
x1 |
由f(x1)•f(x2)=
1 |
x1 |
1 |
x2 |
1 |
x1 |
∴f(x)是定义域上的自倒函数;
在(4)中,当y=f(x),y=g(x)都是自倒函数,且定义域相同时,函数y=f(x)g(x)不一定是自倒函数,例如f(x)=g(x)=
1 |
x |
y=f(x)g(x)=
1 |
x2 |
1 |
x12 |
1 |
x22 |
1 |
x12 |
∴x2=±
1 |
x1 |
故答案为:(1),(3).
点评:本题考查了新概念下的函数的性质与运算,解决此类问题时,要深刻把握新概念函数的内涵与外延,从而正确解答问题.
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