题目内容

椭圆 $数学公式$ 与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为原点），
（1）求 $数学公式$ 的值；
（2）若椭圆离心率在 $数学公式$ 上变化时，求椭圆长轴的取值范围．

解：（1）联立方程组 $\text{[math]}$
设P（x₁y₁）、Q（x₂y₂），
∵OP⊥OQ∴ $\text{[math]}$ ，即x₁x₂+y₁y₂=0
∵y₁=1-x₁y₂=1-x₂
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
将 $\text{[math]}$ 代入上式得： $\text{[math]}$
∴a²+b²=2a²b²故 $\text{[math]}$
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
由（1）知 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
又∵a＞0，∴ $\text{[math]}$
故椭圆长轴的取值范围是[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）联立方程组 $\text{[math]}$ ，设P（x₁y₁）、Q（x₂y₂），由OP⊥OQ，知x₁x₂+y₁y₂=0，由y₁=1-x₁y₂=1-x₂，知2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，由此能导出 $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ 由此能求出椭圆长轴的取值范围．
点评：本题考查椭圆和直线的位置关系及其应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．