Question

已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=

3

2

，若椭圆与直线x+y+1=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求椭圆的方程．

Answer 1

分析：先设出椭圆的标准方程，根据离心率的范围求得a和c的关系，进而表示出b和a的关系，代入椭圆方程，根据OP⊥OQ判断出x₁x₂+y₁y₂=0，直线与椭圆方程联立消去y，进而根据表示出x₁x₂和y₁y₂，根据x₁x₂+y₁y₂=0求得b的值．进而椭圆的方程可得．

解答：解：由e=

3

2

得a=2b
设椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1
由于椭圆与直线x+y+1=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），
若设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁x₂+y₁y₂=0        ①
由

x2 4b2 + y2 b2 =1 x+y+1=0

得

x1x2= 4-4b2 5 y1y2= 1-4b2 5

代入①式解得b2=

5

8

，a2=4b2=

5

2

∴椭圆的方程为：

x2

5 2

+

y2

5 8

=1，即

2x2

5

+

8y2

5

=1．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．直线与圆锥曲线的关系，以及平面向量的几何由意义．考查了基本知识的识记和基本的运算能力．