题目内容

椭圆 $数学公式$ 与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且 $数学公式$ （O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证： $数学公式$ 等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率 $数学公式$ 时，求椭圆长轴长的取值范围．

（1）证明： $\text{[math]}$
消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
△=4a⁴-4（a²+b²）a²（1-b²）＞0，a²+b²＞1
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0
化简得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
则 $\text{[math]}$
即a²+b²=2a²b²，故 $\text{[math]}$
（Ⅱ）解：由 $\text{[math]}$
化简得 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$
故椭圆的长轴长的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）联立方程组 $\text{[math]}$ ，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，由△＞0推出a²+b²＞1，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ ，得x₁x₂+y₁y₂=0，由此能够推导出 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由由、题高级条件能够推导出 $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，由此能够推陈出新导出长轴长的取值范围．
点评：本题考查椭圆的性质和应用，具有一定的难度，解题时要细心解答，避免出现不必要的错误．