Question

1．已知a＞1，f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0），求不等式f（2x²+a+3）＞f（x²+3x+a+1）的解集．

Answer 1

分析 根据解析式得出f（x）在（0，$\sqrt{a}$）单调递减，（$\sqrt{a}$，+∞）单调递增，把 不等式等价转化为2x²+a+3＞x²+3x+a+1，求解即可．

解答 解：∵a＞1，f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0），
∴（0，$\sqrt{a}$）单调递减，（$\sqrt{a}$，+∞）单调递增，
∵当x＞0时，2x²+a+3＞$\sqrt{a}$＞1，x²+3x+a+1＞$\sqrt{a}$＞1，
f（2x²+a+3）＞f（x²+3x+a+1）
∴2x²+a+3＞x²+3x+a+1，
即x²-3x+2＞0，
x＞2或0＜x＜1．
原不等式的解集为{x|x＞2或0＜x＜1}

点评 本题考查了运用函数的单调性求解复杂的不等式，等价转化思想的运用，关键看范围确定自变量的范围．