题目内容
19.在△ABC中,AC=3,$BC=2,\;∠C=\frac{π}{3}$,D是AB边上的一点,且$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$,则$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$=$-\frac{4}{3}$.分析 首先利用已知求出AB以及A的余弦值,然后进行向量的运算.
解答 解:由已知,利用余弦定理得到AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos$\frac{π}{3}$=3+4-6=7,
由正弦定理得到$\frac{AB}{sin\frac{π}{3}}=\frac{BC}{sinA}$,所以$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{sinA}$,所以sinA=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,所以cosA=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$,
所以$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$=($\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$)$•\overrightarrow{AB}$=($\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$)$•\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}×7-3×\sqrt{7}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$=$-\frac{4}{3}$;
故答案为:$-\frac{4}{3}$.
点评 本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积的运算,用到了余弦定理和正弦定理.
练习册系列答案
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9.已知集合A={x|x+1<0},B={x|x-3<0},则∁RA∩B=( )
A. | {x|1<x<3} | B. | {x|-1≤x<3} | C. | {x|x<-1} | D. | {x|x>3} |
7.下列命题中,正确的一个是( )
A. | ?x0∈R,ln(x02+1)<0 | |
B. | 若q是?p成立的必要不充分条件,则?q是p成立的充分不必要条件 | |
C. | ?x>2,x2>2x | |
D. | 若x≠kπ(k∈Z),则sin2x+$\frac{2}{sinx}$≥3 |
14.要得到函数y=cosx的图象,只需将函数$y=sin(2x+\frac{π}{3})$的图象上所有的点的( )
A. | 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度 | |
B. | 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度 | |
C. | 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍(纵坐标不变),再向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度 | |
D. | 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍(纵坐标不变),再向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度 |