题目内容

19.在△ABC中,AC=3,$BC=2,\;∠C=\frac{π}{3}$,D是AB边上的一点,且$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$,则$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$=$-\frac{4}{3}$.

分析 首先利用已知求出AB以及A的余弦值,然后进行向量的运算.

解答 解:由已知,利用余弦定理得到AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos$\frac{π}{3}$=3+4-6=7,
由正弦定理得到$\frac{AB}{sin\frac{π}{3}}=\frac{BC}{sinA}$,所以$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{sinA}$,所以sinA=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,所以cosA=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$,
所以$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$=($\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$)$•\overrightarrow{AB}$=($\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$)$•\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}×7-3×\sqrt{7}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$=$-\frac{4}{3}$;
故答案为:$-\frac{4}{3}$.

点评 本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积的运算,用到了余弦定理和正弦定理.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网