题目内容
（2013•普陀区二模）若圆C的半径为3，单位向量
所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则
•
的最大值为
| e |
| e |
| AB |
3
3
．分析：设
，
的夹角为θ，过C作CM⊥AB，则AB=2AM，然后结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ，再利用三角函数的定义可用θ表示AM，代入向量的数量积的定义
•
=|
||
|cosθ，最后结婚二倍角公式及正弦函数的性质即可求解
| e |
| AB |
| e |
| AB |
| e |
| AB |
解答：
解：设
，
的夹角为θ
过C作CM⊥AB，垂足为M，则AB=2AM
由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ
∵在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM=sinθ=
∴AM=3sinθ，AB=6sinθ
∵
•
=|
||
|cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3
当sin2θ=1即θ=45°时取等号
故答案为：3
解：设| e |
| AB |
过C作CM⊥AB，垂足为M，则AB=2AM
由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ
∵在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM=sinθ=
| AM |
| 3 |
∴AM=3sinθ，AB=6sinθ
∵
| e |
| AB |
| e |
| AB |
当sin2θ=1即θ=45°时取等号
故答案为：3
点评：本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性
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