题目内容

1．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，n=1，2，3，4…
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}为等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．

分析 （1）把an+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，代入$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$计算为常数即可；
（2）由（1）利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 （1）证明：∵an+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，
$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}为等差数列，首项与公差都为1；
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+（n-1）=n，
∴an=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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