题目内容
【题目】如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长相等,点D是棱CC1的中点,则AA1与面ABD所成角的大小是
【答案】60°
【解析】解:正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长相等,点D是棱CC1的中点,
设棱长为2,以ABC平面内AC顺时针旋转90°得到的直线为x轴,以AC为y轴,以AA1为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2sin30°,2sin60°,0)=( , 1,0),D(0,2,1),A1(0,0,2),
∴=(0,0,2),
=(0,2,1),
=(
, 1,0),
设平面ABD的法向量为=(x,y,z),
则 ,
∴ , 解得
=(
, ﹣3,6),
设AA1与面ABD所成角为θ,
则.
∴θ=60°.
故AA1与面ABD所成角的大小是60°.
所以答案是:60°.
【考点精析】本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角的相关知识点,需要掌握设直线的方向向量为
,平面
的法向量为
,直线与平面所成的角为
,
与
的夹角为
, 则
为
的余角或
的补角的余角.即有:
才能正确解答此题.
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