题目内容
已知两定点F1（-
，0），F2（
，0）满足条件|
| -|
| =2的点P的轨迹方程是曲线C，直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点，且|
| =
．
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C上存在一点D，使
+
=m
，求m的值及点D到直线AB的距离．
| 2 |
| 2 |
| PF2 |
| PF1 |
| AB |
2
| ||
| 3 |
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C上存在一点D，使
| OA |
| OB |
| OD |
分析：（1）由已知两定点F1（-
，0），F2（
，0）满足条件|
| -|
| =2，可知轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支，进而可求曲线C的方程；
（2）将直线方程代入双曲线的方程，利用弦长公式求AB的长，从而可得直线的斜率，进而利用向量求出点D的坐标，利用D满足曲线C的方程，即可求m的值及点D到直线AB的距离．
| 2 |
| 2 |
| PF2 |
| PF1 |
（2）将直线方程代入双曲线的方程，利用弦长公式求AB的长，从而可得直线的斜率，进而利用向量求出点D的坐标，利用D满足曲线C的方程，即可求m的值及点D到直线AB的距离．
解答：解：（1）由已知两定点F1（-
，0），F2（
，0）满足条件|
| -|
| =2，可知轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支．
∵2a=2，∴a=1，
∵c=
，∴b2=c2=a2=1
∴曲线C的方程为x2-y2=1（x≤-1）
（2）由
得（1-k2）x2+4kx-5=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则
，解之得-
＜k＜-1
∴|AB| =
|x1-x2|=
•
=
，解之得k2=4
又∵-
＜k＜-1
∴k=-2
∴x1+x2=-
y1+y2=(-2x1-2)+(-2x2-2)=-2(x1+x2)-4=
由
+
=m
得D (
(x1+x2)，
(y1+y2))，即D(-
，
)
∵D在x2-y2=1（x≤-1）上，
∴(-
)2-(
)2=1 (m＞0)，∴m=
∴D（-
，
）
∵直线AB：2x+y+2=0
∴点D到直线AB的距离为d=
=
=
| 2 |
| 2 |
| PF2 |
| PF1 |
∵2a=2，∴a=1，
∵c=
| 2 |
∴曲线C的方程为x2-y2=1（x≤-1）
（2）由
|
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则
|
| 5 |
∴|AB| =
| 1+k2 |
| 1+k2 |
| ||
| |1-k2| |
2
| ||
| 3 |
又∵-
| 5 |
∴k=-2
∴x1+x2=-
| 8 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
由
| OA |
| OB |
| OD |
| 1 |
| m |
| 1 |
| m |
| 8 |
| 3m |
| 4 |
| 3m |
∵D在x2-y2=1（x≤-1）上，
∴(-
| 8 |
| 3m |
| 4 |
| 3m |
4
| ||
| 3 |
∴D（-
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∵直线AB：2x+y+2=0
∴点D到直线AB的距离为d=
|2×(-
| ||||||||
|
2-
| ||
|
2
| ||||
| 5 |
点评：本题重点考查双曲线的轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长公式，考查点到直线的距离公式，综合性较强．
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