Question

已知两定点F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），满足条件|

PF2

|-|

PF1

|=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A，B两点．如果|AB|=6

3

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：由双曲线的定义易判断点P轨迹E是以F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）为焦点的双曲线的左支，从而可求得E的方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与双曲线方程得方程组，消y得（1-k²）x²+2kx-2=0．由直线交双曲线左支于两点得关于k的限制条件，再由弦长公式可得关于k的方程，解出k，注意检验是否满足以上条件．

解答：解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）为焦点的双曲线的左支，
且c=

2

，a=1，∴b=1，
故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意建立方程组

y=kx-1 x2-y2=1

，消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
∵已知直线与双曲线左支交于两点A、B，∴

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

，解得-

2

＜k＜-1．
又∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

，
依题意得2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

，整理后得28k⁴-55k²+25=0，
解得k²=

5

7

或k2=

5

4

，但-

2

＜k＜-1，∴k=-

5

2

，
故直线AB的方程为

5

2

x+y+1=0．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及直线方程，考查二次方程根的分布问题，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础知识，要熟练掌握．