题目内容
已知两定点F1(-
,0),F2(
,0),满足条件|PF2|-|PF1|=2的点P的轨迹是曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设过点(0,-1)的直线与曲线E交于A,B两点.如果|AB|=6
,求直线AB的方程.
2 |
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(1)求曲线E的方程;
(2)设过点(0,-1)的直线与曲线E交于A,B两点.如果|AB|=6
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分析:(1)根据条件|PF2|-|PF1|=2,利用双曲线的定义,可求曲线E的方程;
(2)直线方程代入双曲线方程,利用直线与双曲线左支交于两点A,B,求出k的范围,再利用|AB|=6
,求出k的值,从而可求直线AB的方程.
(2)直线方程代入双曲线方程,利用直线与双曲线左支交于两点A,B,求出k的范围,再利用|AB|=6
3 |
解答:解:(1)由双曲线的定义可知,曲线E是以F1(-
,0),F2(
,0)为焦点的双曲线的左支,且c=
,a=1,
∴b=
=1,故曲线E的方程为x2-y2=1(x<0).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组
,消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0,
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有
,
解得-
<k<-1.
∵|AB|=
|x1-x2|=
•
=2
=6
,
∴28k4-55k2+25=0,
∴k2=
或k2=
,
∵-
<k<-1,
∴k=-
,
∴直线AB的方程为
x+y+1=0.
2 |
2 |
2 |
∴b=
c2-a2 |
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组
|
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有
|
解得-
2 |
∵|AB|=
1+k2 |
1+k2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
|
3 |
∴28k4-55k2+25=0,
∴k2=
5 |
7 |
5 |
4 |
∵-
2 |
∴k=-
| ||
2 |
∴直线AB的方程为
| ||
2 |
点评:本题考查双曲线的定义与标准方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.

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