题目内容

已知两定点F1(-
2
,0),F2
2
,0),满足条件|PF2|-|PF1|=2的点P的轨迹是曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设过点(0,-1)的直线与曲线E交于A,B两点.如果|AB|=6
3
,求直线AB的方程.
分析:(1)根据条件|PF2|-|PF1|=2,利用双曲线的定义,可求曲线E的方程;
(2)直线方程代入双曲线方程,利用直线与双曲线左支交于两点A,B,求出k的范围,再利用|AB|=6
3
,求出k的值,从而可求直线AB的方程.
解答:解:(1)由双曲线的定义可知,曲线E是以F1(-
2
,0),F2
2
,0)为焦点的双曲线的左支,且c=
2
,a=1,
∴b=
c2-a2
=1,故曲线E的方程为x2-y2=1(x<0).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组
y=kx-1
x2-y2=1
,消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0,
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有
1-k2≠0
△=4k2+8(1-k2)>0
x1+x2=
-2k
1-k2
<0
x1x2=
-2
1-k2
>0

解得-
2
<k<-1.
∵|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
=6
3

∴28k4-55k2+25=0,
k2=
5
7
k2=
5
4

∵-
2
<k<-1,
k=-
5
2

∴直线AB的方程为
5
2
x+y+1=0
点评:本题考查双曲线的定义与标准方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
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