Question

已知两定点F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），满足条件|PF₂|-|PF₁|=2的点P的轨迹是曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点（0，-1）的直线与曲线E交于A，B两点．如果|AB|=6

3

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）根据条件|PF₂|-|PF₁|=2，利用双曲线的定义，可求曲线E的方程；
（2）直线方程代入双曲线方程，利用直线与双曲线左支交于两点A，B，求出k的范围，再利用|AB|=6

3

，求出k的值，从而可求直线AB的方程．

解答：解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）为焦点的双曲线的左支，且c=

2

，a=1，
∴b=

c2-a2

=1，故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意建立方程组

y=kx-1 x2-y2=1

，消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0，
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

，
解得-

2

＜k＜-1．
∵|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

，
∴28k⁴-55k²+25=0，
∴k2=

5

7

或k2=

5

4

，
∵-

2

＜k＜-1，
∴k=-

5

2

，
∴直线AB的方程为

5

2

x+y+1=0．

点评：本题考查双曲线的定义与标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．