题目内容

已知两定点F1(-
2
,0),F2
2
,0)满足条件|PF2|-|PF1|=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.
(1)求k的取值范围;
(2)当|AB|=6
3
时,求△AOB的面积.
分析:(1)由双曲线的定义,求得曲线E的方程,与直线方程联立,消去y,根据直线与双曲线左支交于两点A,B,结合韦达定理,可求k的取值范围;
(2)先表示出|AB|,利用|AB|=6
3
,求出直线AB的方程,即可求△AOB的面积.
解答:解:(1)由双曲线的定义可知,曲线E是以F1(-
2
,0),F2
2
,0)为焦点的双曲线的左支,且c=
2
,a=1,所以b=1,故曲线E的方程为x2-y2=1(x<0)
设A(x1,y2),B(x2,y2),由题意建立方程组
y=kx-1
x2-y2=1

消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有
1-k2≠0
=(2k)2+8(1-k2)>0
x1+x2=
-2k
1-k2
x1•x2=
-2
1-k2
>0

解得-
2
<k<-1.
(2)∵|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)-4x1x2

=
1+k2
(
-2k
1-k2
)
2
-4×
-2
1-k2
=2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2

依题意得2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
=6
3
,整理后得28k4-55k2+25=0.
k2=
5
7
k2=
5
4

但-
2
<k<-1,∴k=-
5
2

故直线AB的方程为
5
2
x+y+1=0

∴S△AOB=
1
2
×
2
3
×6
3
=2
3
点评:本题考查双曲线的标准方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查弦长计算,考查三角形的面积,正确运用韦达定理是关键.
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