题目内容
已知两定点F1(-
,0),F2(
,0)满足条件|PF2|-|PF1|=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.
(1)求k的取值范围;
(2)当|AB|=6
时,求△AOB的面积.
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(1)求k的取值范围;
(2)当|AB|=6
3 |
分析:(1)由双曲线的定义,求得曲线E的方程,与直线方程联立,消去y,根据直线与双曲线左支交于两点A,B,结合韦达定理,可求k的取值范围;
(2)先表示出|AB|,利用|AB|=6
,求出直线AB的方程,即可求△AOB的面积.
(2)先表示出|AB|,利用|AB|=6
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解答:
解:(1)由双曲线的定义可知,曲线E是以F1(-
,0),F2(
,0)为焦点的双曲线的左支,且c=
,a=1,所以b=1,故曲线E的方程为x2-y2=1(x<0)
设A(x1,y2),B(x2,y2),由题意建立方程组
消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有
解得-
<k<-1.
(2)∵|AB|=
•|x1-x2|=
=
-4×
=2
依题意得2
=6
,整理后得28k4-55k2+25=0.
∴k2=
或k2=
但-
<k<-1,∴k=-
.
故直线AB的方程为
x+y+1=0
∴S△AOB=
×
×6
=2

2 |
2 |
2 |
设A(x1,y2),B(x2,y2),由题意建立方程组
|
消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有
|
解得-
2 |
(2)∵|AB|=
1+k2 |
1+k2 |
(x1+x2)-4x1x2 |
=
1+k2 |
(
|
-2 |
1-k2 |
|
依题意得2
|
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∴k2=
5 |
7 |
5 |
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但-
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故直线AB的方程为
| ||
2 |
∴S△AOB=
1 |
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点评:本题考查双曲线的标准方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查弦长计算,考查三角形的面积,正确运用韦达定理是关键.

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