Question

（2012•安徽模拟）（理）已知f（x）=ax+

b

x

+2-2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．
（I）求a，b满足的关系式；
（II）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（III）证明：1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

＞

1

2

(2n+1)+

n

2n+1

（n∈N₊）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，可得f′（1）=a-b=2，即可求a，b满足的关系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，构造新函数g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，g′（x）=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

，比较对应方程根的大小，进行分类讨论，即可求得a的取值范围；
（Ⅲ）当a≥1时，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立，再取a=1得x-

1

x

≥2lnx，令x=

2n+1

2n-1

＞1，从而可得

1

2n-1

＞

1

2

ln

2n+1

2n-1

+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，进而可得结论．

解答：（Ⅰ）解：求导函数，可得f′(x)=a-

b

x2

，根据题意f′（1）=a-b=2，即b=a-2    …3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
则g（1）=0，g′（x）=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

①当0＜a＜1时，

2-a

a

＞1，
若1＜x＜

2-a

a

，则g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．
②a≥1时，

2-a

a

≤1，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞）     …8分
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知当a≥1时，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立．
取a=1得x-

1

x

≥2lnx，令x=

2n+1

2n-1

＞1得

2n+1

2n-1

-

2n-1

2n+1

＞2ln

2n+1

2n-1

，
即

2

2n-1

-

2

2n+1

＞2ln

2n+1

2n-1

所以

1

2n-1

＞

1

2

ln

2n+1

2n-1

+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得到1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

＞

1

2

ln(2n+1)+

n

2n+1

（n∈N₊）…13分．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查不等式的证明，解题的关键是正确求出导函数，构造新函数，利用函数的单调性解题．