题目内容
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,则p的值为( )
分析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由点差法得到
•(y1+y2)=2p,因为过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,所以
=1,AB方程为:y=x-
,故y1+y2=2p,AB中点横坐标为
,再由线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,能求出p.
y1-y2 |
x1-x2 |
y1-y2 |
x1-x2 |
p |
2 |
3p |
2 |
解答:解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
①-②,得:(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),
∴
•(y1+y2)=2p,
∵过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,
∴
=1,AB方程为:y=x-
,
∵
为AB中点纵坐标,
∴y1+y2=2p,
∵y1=x1-
,y2=x2-
,
∴y1+y2=x1+x2-p,
∴x1+x2=y1+y2+p,
∵
=
=
,
∴AB中点横坐标为
,
∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,
∴
+
=4,解得p=2.
故选B.
|
∴
y1-y2 |
x1-x2 |
∵过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,
∴
y1-y2 |
x1-x2 |
p |
2 |
∵
y1+y2 |
2 |
∴y1+y2=2p,
∵y1=x1-
p |
2 |
p |
2 |
∴y1+y2=x1+x2-p,
∴x1+x2=y1+y2+p,
∵
x1+x2 |
2 |
(y1+y2+p) |
2 |
3p |
2 |
∴AB中点横坐标为
3p |
2 |
∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,
∴
p |
2 |
3p |
2 |
故选B.
点评:本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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