题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n.
(1)求数列{an}的首项a1与递推关系式:an+1=f(an);
(2)先阅读下面定理:“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B,其中A、B为常数,且A≠1,B≠0,则数列{an-
}是以A为公比的等比数列.”请你在第(1)题的基础上应用本定理,求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)求数列{an}的首项a1与递推关系式:an+1=f(an);
(2)先阅读下面定理:“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B,其中A、B为常数,且A≠1,B≠0,则数列{an-
B |
1-A |
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)令n=1,S1=2a1-3.∴a1=3
又Sn+1=2an+1-3(n+1),Sn=2an-3n,
两式相减得,an+1=2an+1-2an-3,(3分)
则an+1=2an+3(4分)
(2)按照定理:A=2,B=3,
∴{an+3}是公比为2的等比数列.
则an+3=(a1+3)•2n-1=6•2n-1,∴an=6•2n-1-3.(8分)
(3)∵an=6•2n-1-3,
∴Sn=(6-3)+(6×2-3)+(6×3-3)+…+(6×2n-1-3),
∴Sn=
-3n=6•2n-3n-6.(12分)
又Sn+1=2an+1-3(n+1),Sn=2an-3n,
两式相减得,an+1=2an+1-2an-3,(3分)
则an+1=2an+3(4分)
(2)按照定理:A=2,B=3,
∴{an+3}是公比为2的等比数列.
则an+3=(a1+3)•2n-1=6•2n-1,∴an=6•2n-1-3.(8分)
(3)∵an=6•2n-1-3,
∴Sn=(6-3)+(6×2-3)+(6×3-3)+…+(6×2n-1-3),
∴Sn=
6(1-2n) |
1-2 |
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