Question

（2006•宝山区二模）已知S_n是各项均为正数的递减等比数列{a_n}的前n项之和，且a2=

1

2

，S3=

7

4

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设y=f（x）是偶函数，当x≤0时，f（x）=log₂（x+1），求f（x）的定义域D及其解析式；
（3）对于任意正整数n及（2）中的f（x），若不等式f（x）+S_n＜0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公比为q，由题意可得方程组，联立解得a₁，q，可得通项公式；（2）由对数函数的意义可得定义域，由函数的奇偶性可得解析式；（3）由（1）知S_n单调递增，且

lim

n→∞

Sn=2，必有有f（x）+2≤0恒成立，分x≤0和x＞0分别讨论可得．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
由题意可知a2=a1q=

1

2

，
S3=

a1(1-q3)

1-q

=

7

4

，
联立解得a₁=1，q=

1

2

故可得通项公式为：an=(

1

2

)n-1…（4分）
（2）由题意，当x≤0时，x+1＞0，即x＞-1，
又因为y=f（x）是偶函数，
所以D=（-1，1），…（6分）
设x∈（0，1）时，-x∈（-1，0），
故f（-x）=log₂（-x+1），
由偶函数可得f（x）=log₂（-x+1），
故可得解析式为：f(x)=

log2(1-x)，0＜x＜1 log2(1+x)，-1＜x≤0

…（9分）
（3）由（1）知S_n单调递增，且

lim

n→∞

Sn=2，
因而，若f（x）+S_n＜0恒成立，
则有f（x）+2≤0恒成立．…（11分）
①当x≤0时，由log₂（x+1）+2≤0解得-1＜x≤-

3

4

…（13分）
②当x＞0时，由log₂（1-x）+2≤0解得

3

4

≤x＜1…（15分）
综上，当x∈(-1，-

3

4

]∪[

3

4

，1)时，f（x）+S_n＜0恒成立．…（16分）

点评：本题考查等比数列的通项公式，涉及函数解析式的求解以及函数恒成立问题，属中档题．