题目内容
【题目】如图,△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰CA的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2 .
(1)若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;
(2)求 的最小值.
【答案】
(1)解:因为:AE=CE= AE+4>CE+3 所以F不在BC上,
AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF
所以AE=CE AF=CB+BF 4﹣BF=BF+3 BF=
cosA= =
所以EF2=AE2+AF2﹣2AE×AF×cosA=
所以EF=
E为AC中点时,此时小路的长度为 百米
(2)解:若E、F分别在AC和AB上,
sinA=
设AE=x,AF=y,
所以S2= xysinA=
S1=S三角形ABC﹣S2=2 ﹣S2
因为x+y=3﹣x+4﹣y+3
所以x+y=5
=
﹣1
xy≤
当且仅当x=y= 时取等号
所以 =
当且仅当x=y= 时取等号
最小值是
若E、F分别在AC和BC上,
sinC=
设CE=x,CF=y
同上可得 ≥
当且仅当x=y= 取等号
若E、F分别在AC和BC上,最小值是
【解析】(1)根据题意可知F不在BC上,根据余弦定理求出cosA的值,然后根据余弦定理求出EF的长即可;(2)若E、F分别在AC和AB上,设AE=x,AF=y,然后利用三角形的面积公式求出S2和S1=S三角形ABC﹣S2=,再根据基本不等式求出比值的最值即可,若E、F分别在AC和BC上,设CE=x,CF=y,同上根据基本不等式求出比值的最值即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点,需要掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值才能正确解答此题.
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【题目】某工厂为了解用电量y与气温x℃之间的关系,随机统计了5天的用电量与当天气温,得到如下统计表:
曰期 | 8月1曰 | 8月7日 | 8月14日 | 8月18日 | 8月25日 |
平均气温(℃) | 33 | 30 | 32 | 30 | 25 |
用电量(万度) | 38 | 35 | 41 | 36 | 30 |
xiyi=5446,
xi2=4538,
=
,
=
﹣
(1)请根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程.据气象預报9月3日的平均气温是 23℃,请预测9月3日的用电量;(结果保留整数)
(2)请从表中任选两天,记用电量(万度)超过35的天数为ξ,求ξ的概率分布列,并求其数学期望和方差.
【题目】某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴,每户贷款为2万元,贷款期限有6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种,这五种贷款期限政府分别需要补助200元、300元、300元、400元,从2016年享受此项政策的困难户中抽取了100户进行了调查,选取贷款期限的频数如表:
贷款期限 | 6个月 | 12个月 | 18个月 | 24个月 | 36个月 |
频数 | 20 | 40 | 20 | 10 | 10 |
以上表各种贷款期限频率作为2017年贫困家庭选择各种贷款期限的概率.
(1)某小区2017年共有3户准备享受此项政策,计算其中恰有两户选择贷款期限为12个月的概率;
(2)设给享受此项政策的某困难户补贴为ξ元,写出ξ的分布列,若预计2017年全市有3.6万户享受此项政策,估计2017年该市共需要补贴多少万元.