Question

14．如图，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于点K，连接DK，求证：
（1）平面SBC⊥平面KBD；
（2）平面SBC不垂直于平面SDC．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由已知推导出BD⊥平面SAC，从而SC⊥平面KBD，由此能证明平面SBC⊥平面KBD．
（2）假设平面SBC⊥平面SDC，由已知推导出AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立，从而得到平面SBC不垂直于平面SDC．

解答 证明：（1）连接AC，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，
∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD．
又∵SC⊥BK，∴SC⊥平面KBD．
又SC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD．
（2）假设平面SBC⊥平面SDC．
∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC．
∵DC?平面SDC，∴BK⊥DC，
又AB∥CD，∴BK⊥AB．
∵ABCD是正方形，AB⊥BC，
∴AB⊥平面SBC，又SB?平面SBC，
∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立．
∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查平面不垂直的证明，是中档题，解题时要注意反证法的合理运用，注意空间思维能力的培养．