Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{5}{2}$且a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=a_n-2．
（1）求证：{b_n}是等比数列，并求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=（4n+1）•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}+1-2}{{a}_{n}-2}$计算即得数列{b_n}是首项、公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，进而可得结论；
（2）通过b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$可知c_n=（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a₁=$\frac{5}{2}$、a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1，
∴b_n≠2，
又∵b_n=a_n-2，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}+1-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}（{a}_{n}-2）}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$，
∵${b}_{1}={a}_{1}-2=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是首项、公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴b_n=$\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=2+b_n=2+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）解：∵b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴c_n=（4n+1）•b_n=（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=5•$\frac{1}{2}$+9•$\frac{1}{{2}^{2}}$+13•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+9•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（4n-3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=5•$\frac{1}{2}$+4（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{5}{2}$+4•$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{9}{2}$-（4n+9）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=9-（4n+9）•$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．