Question

15．已知函数f（x）=lnx-c（x＞0）
（1）若x=1为函数g（x）=xf（x）的极值点，求c的值．
（2）若lna＜c＜lnb
①已知l₁：x=a，l₂：x=b，若直线l₁，l₂及直线y=c与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影部分所示，求阴影面积S关于c的函数S（c）的最小值m
②证明：不等式：$\frac{m}{b-a}$＜ln2．

Answer 1

分析 （1）求出函数g（x）的解析式和导数，由题意可得g′（1）=0，即可得到c=1；
（2）①运用定积分可得S（c）=${∫}_{a}^{{e}^{c}}$|lnx-c|dx+${∫}_{{e}^{c}}^{b}$|lnx-c|dx，由计算法则可得S（c）的解析式，再求导数，判断单调性可得最小值m；
②$\frac{m}{b-a}$＜ln2?alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$＜（b-a）ln2，令F（x）=alna+xlnx-（a+x）ln$\frac{a+x}{2}$-（x-a）ln2（x≥a），求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（1）f（x）=lnx-c（x＞0），g（x）=xf（x）=xlnx-cx，
导数g′（x）=lnx+1-c，
x=1为函数g（x）=xf（x）的极值点，即有g′（1）=0，
1-c=0，解得c=1，
经检验可得x=1为极值点，则有c=1；
（2）①S（c）=${∫}_{a}^{{e}^{c}}$|lnx-c|dx+${∫}_{{e}^{c}}^{b}$|lnx-c|dx
=${∫}_{a}^{{e}^{c}}$（c-lnx）dx+${∫}_{{e}^{c}}^{b}$（lnx-c）dx
=2e^c-c（a+b）-（a+b）+alna+blnb，
即有S′（c）=2e^c-（a+b），
由lna＜c＜lnb，当c∈（lna，ln$\frac{a+b}{2}$），S′（c）＜0，S（c）递减，
当c∈（ln$\frac{a+b}{2}$，lnb），S′（c）＞0，S（c）递增，
当c=ln$\frac{a+b}{2}$时，S（c）取得最小值，且为m=alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$．
②证明：$\frac{m}{b-a}$＜ln2?alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$＜（b-a）ln2，
令F（x）=alna+xlnx-（a+x）ln$\frac{a+x}{2}$-（x-a）ln2（x≥a），
则F′（x）=lnx-ln$\frac{a+x}{2}$-ln2，
由x≥a，则F′（x）≤0，即有F（x）在[a，+∞）递减．
则F（b）＜F（a），即有alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$-（b-a）ln2＜0，
则有$\frac{m}{b-a}$＜ln2．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查定积分的运用和构造函数运用单调性证明不等式的方法，属于中档题．