Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{3}{2}$），且椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若动点P在直线x=-1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P作直线l⊥MN．证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （I）根据椭圆的离心率以及过点，建立方程组即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设出直线MN的斜率和方程，联立直线方程和椭圆方程，根据中点弦的性质进行求解即可．

解答 解：（I）因为点（1，$\frac{3}{2}$），在椭圆C上，
所以$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，
又椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$，所以$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
即a=2c，所以a²=4，b²=3，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）设P（-1，y₀），则y₀∈（$-\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y-y₀=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y-{y}_{0}=k（x+1）}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+（8ky₀+8k²）x+（4y₀²+8k₀+4k²-12）=0，
所以x₁+x₂=$-\frac{8k{y}_{0}+8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
因为P为MN中点，所以$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-1，x₁+x₂=-2．
即$-\frac{8k{y}_{0}+8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-2，
所以k_MN=$\frac{3}{4{y}_{0}}$（y₀≠0），
因为直线l⊥MN，
所以k₁=-$\frac{4{y}_{0}}{3}$，
所以直线的方程为y-y₀=-$\frac{4{y}_{0}}{3}$（x+1），
即y=-$\frac{4{y}_{0}}{3}$（x+$\frac{1}{4}$），显然直线恒过定点（-$\frac{1}{4}$，0），
②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=-1，
此时直线为x轴，也过点（-$\frac{1}{4}$，0），
 综上所述，直线恒过定点（-$\frac{1}{4}$，0）．

点评 本题主要考查椭圆方程的求解以及中点弦的应用，联立方程转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键．