Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}的夹角为120°，且\overrightarrow{m}=\frac{2\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}+\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，$\overrightarrow{n}$=-$\frac{3\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}+\frac{2\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，
（1）求$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$
（2）求$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$分别为$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的单位向量，设为$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，运用向量的数量积的定义和性质，即可计算得到；
（2）运用向量的模的公式和向量的夹角公式计算即可得到所求余弦值．

解答 解：（1）$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$分别为$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的单位向量，设为$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
即有$\overrightarrow{m}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{n}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
则$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cos120°=-$\frac{1}{2}$，
即有$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+7$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$
=6+2-7×$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$；
（2）由|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{4+1+4•（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{9+4+12•（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$，
$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$
=$\frac{\frac{9}{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和夹角公式，以及模的公式的运用，考查运算能力，属于中档题．