某大学的一个社会实践调查小组.在对大学生的良好“光盘习惯的调査中.随机发放了l20份问巻．对收回的l00份有效问卷进行统计.得到如下2x2列联表:做不到光盘能做到光盘合计男451055女301545合计7525100(1)现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷.若从这9份问卷中随机抽取4份.并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ.试求随机� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中，随机发放了l20份问巻．对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2x2列联表：

	做不到光盘	能做到光盘	合计
男	45	10	55
女	30	15	45
合计	75	25	100

（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望
（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d，
独立性检验临界表：

P（K²≥k₀）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k₀	1.323	2.072	2.706	3.840	5.024

分析（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘．因为ξ表示从这9份问卷中随机抽取的4份中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，求出相应的概率，可得随机变量ξ的分布列和数学期望；
（2）计算K²=$\frac{100×（45×15-30×10）^{2}}{55×45×25×75}$≈3.03，可得结论．

解答解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样方法取得的，
所以9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘． …（2分）
因为ξ表示从这9份问卷中随机抽出的4份中能做到光盘的问卷份数，
所以ξ有0，1，2，3的可能取值，又9份问卷中每份被取到的机会均等，
所以随机变量ξ服从超几何分布，可得到随机变量的分布列为：$P（ξ=0）=\frac{C_6^4}{C_9^4}=\frac{5}{42}$$P（ξ=1）=\frac{C_6^3C_3^1}{C_9^4}=\frac{10}{21}$$P（ξ=2）=\frac{C_6^2C_3^2}{C_9^4}=\frac{5}{14}$$P（ξ=3）=\frac{C_6^1C_3^3}{C_9^4}=\frac{1}{21}$
随机变量的分布列可列表如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{42}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{1}{21}$

…（6分）
所以Eξ=0×$\frac{5}{42}$+1×$\frac{10}{21}$+2×$\frac{5}{14}$+3×$\frac{1}{21}$=$\frac{4}{3}$ …（8分）
（2）K²=$\frac{100×（45×15-30×10）^{2}}{55×45×25×75}$≈3.03…（10分）
因为2.706＜3.03＜3.840，
所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，
即精确的值应为0.10…（12分）

点评本题考查随机变量ξ的分布列和数学期望，考查独立性检验，考查学生分析解决问题的能力，知识综合．