题目内容

在长方体中,中点.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使得∥平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)先证平面(Ⅱ)(Ⅲ)的长.

试题分析:(Ⅰ)证明:连接是长方体,∴平面,又平面 ∴    
在长方形中, ∴     
平面,    
平面      
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则

,  
设平面的法向量为,则    令,则  ,
       
所以 与平面所成角的正弦值为                
(Ⅲ)假设在棱上存在一点,使得∥平面.
的坐标为,则 因为 ∥平面
所以 ,即, ,解得,        
所以 在棱上存在一点,使得∥平面,此时的长
点评:本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
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