题目内容
13．如果有穷数列a1，a2，…，an（n∈N*）满足条件a1=an，a2=an-1，…，an=a1，即ak=an-k+1（k=1，2，…，n），我们称数列{an}具有“性质P”．设数列{cn}是项数为7的具有“性质P”的数列，其中c1，c2，c3，c4为等差数列，c1，c2，c1+c2+c3是等比数列且log${\;}_{\frac{1}{3}}$c2=-2，则数列{cn}的所有项之和为75．分析 由对数的性质，可得c2=9，运用等差数列和等比数列的性质，列出方程，解方程可得c1=3，c3=15，c4=21，即可得到数列{cn}的所有项及和．
解答 解：log${\;}_{\frac{1}{3}}$c2=-2，解得c2=9，
c1，c2，c3，c4为等差数列，
则c1+c3=2c2=18，
由c1，c2，c1+c2+c3是等比数列，可得c22=27c1，
可得c1=3，c3=15，c4=21，
即数列{cn}：3，9，15，21，15，9，3．
则数列{cn}的所有项之和为$\frac{1}{2}$×（3+21）×4×2-21=75．
故答案为：75．
点评 本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的性质，考查运算能力，属于中档题．
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