题目内容

已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．（如图）
（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
（2）当
FA
=λ
AP
时，求λ的最大值．
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（1）∵双曲线的渐近线为y=±
b
a
x，两渐近线夹角为60°，
又
b
a
＜1，∴∠POx=30°，即
b
a
=tan30°=
3
3
．
∴a=
3
b．
又a2+b2=4，
∴a2=3，b2=1．
故椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1．
（2）由已知l：y=
a
b
（x-c），与y=
b
a
x解得P（
a2
c
，
ab
c
），
由
FA
=λ
AP
得A（
c+λ•
a2
c
1+λ
，
λ•
ab
c
1+λ
）．
将A点坐标代入椭圆方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．
∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2．
∴λ2=
e4-e2
e2-2
=-[（2-e2）+
2
2-e2
]+3≤3-2
2
．
∴λ的最大值为
2
-1．
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已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，椭圆C的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），斜率为k（k≠0）的直线l经过点F2，交椭圆于A、B两点，且△ABF1的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点E为x轴上一点，
AF2
=λ
F2B
（λ∈R），若
F1F2
⊥(
EA
+λ
BE
)，求点E的坐标．
（2013•崇明县二模）已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
2
= 1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(
2
2
，
7
2
)为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x0，y0）满足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-
1
2
，求证：
x
2
0
+2
y
2
0
为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．
（2007•河北区一模）已知椭圆C的方程为 
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），过其左焦点F1（-1，0）斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点．
（Ⅰ）若
OP
+
OQ
与
a
=（-3，1）共线，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：x+y-
1
2
=0，在l上求一点M，使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长，求点M的坐标和此双曲线E的方程．
已知椭圆C的方程为
x 2
4
+
y2
3
=1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
与
m
-
OF
共线，则直线AB的方程是（　　）
已知椭圆C的方程为
x 2
4
+
y2
3
=1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
与
m
-
OF
共线，则直线AB的方程是（　　）
A．2x-y-2=0B．2x+y-2=0C．2x-y+2=0D．2x+y+2=0

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