Question

9．已知定义在R上的奇函数f（x），f（x+3）是偶函数，当x∈（0，3）时，f（x）=2x-x²，当x∈（-6，-3）时，求y=f（x）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质进行条件转化注意运用赋值法，即可得到f（x+6）=-f（x），运用x∈（-6，-3）时，x+6∈（0，3），f（x+6）=2（x+6）-（x+6）²，即可得到结论．

解答 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∵函数y=f（x+3）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x+3）=f（x+3）=-f（x-3），f（x+6）=-f（x），
当x∈（-6，-3）时，x+6∈（0，3），f（x+6）=2（x+6）-（x+6）²，
∴f（x）=-2（x+6）+（x+6）²=x²+10x+24．

点评 本题主要考查求函数值的解析式，根据函数奇偶性的性质推出f（x+6）=-f（x）是解决本题的关键．