Question

（本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上运动，过点与垂直的直线和的中垂线相交于点．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设点是轨迹上的动点，点，在轴上，圆（为参数）内切于，求的面积的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）当点的坐标为或时，的面积取最小值

【解析】（Ⅰ）设点的坐标为，由题设知，．

所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为．       ……分

（Ⅱ）设，，，且，

故直线的方程为．

由消去参数，得．                            ……分

由题设知，圆心到直线的距离为，即 ．

注意到，化简上式，得，同理可得

．

由上可知，，为方程的两根，根据求根公式，可得

．                                                    ……分

故的面积为

，等号当且仅当时成立．此时点的坐标为或．

综上所述，当点的坐标为或时，的面积取最小值．

       ……分