题目内容

设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点Q,且
AP
=
8
5
PQ

(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:x+
3
y-5=0
相切,求椭圆C的方程.
分析:(1)设出Q点坐标,由F,A的坐标表示出
FA
AQ
,根据
FA
AQ
,得出
FA
AQ
=0,进而求得x0,设P(x1,y1)根据
AP
=
8
5
PQ
,求得x1和y1的表达式,把点P的坐标代入椭圆方程进而求得a和c的关系,则椭圆的离心率可得.
(2)根据(1)中a和c的关系可知F和Q的坐标,△AQF的外接圆圆心和半径,进而根据
|
1
2
a-5|
2
=a
,求得a,进而根据a和b,c的关系求得b,则椭圆的方程可得.
解答:解:(1)设Q(x0,0),
由F(-c,0),A(0,b)知
FA
=(c,b),
AQ
=(x0,-b),
FA
AQ

FA
AQ
=0,
cx0-b2=0,解得x0=
b2
c

设P(x1,y1),由于
AP
=
8
5
PQ

得x1=
8b2
13c
,y1=
5b
13

∵点P在椭圆上,
(
8b2
13c
)2
a2
+
(
5b
13
)2
b2
=1
,整理得2b2=3ac,即2(a2-c2)=3ac,
则2e2+3e-2=0,解得e=
1
2

故椭圆的离心率e=
1
2

(2)由(1)知2b2=3ac,得到
b2
c
=
3
2
a

又由
c
a
=
1
2
,得到c=
1
2
a

于是F(-
1
2
a,0)Q(
3
2
a
,0),
△AQF的外接圆圆心为(
1
2
a,0),半径r=
1
2
|FQ|=a,
|
1
2
a-5|
2
=a
,解得a=2,∴c=1,b=
3

故所求椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.解题的前提的是熟练掌握椭圆的基本性质.
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