题目内容

x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
AP |
8 |
5 |
PQ |
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:x+
3 |
分析:(1)设出Q点坐标,由F,A的坐标表示出
和
,根据
⊥
,得出
•
=0,进而求得x0,设P(x1,y1)根据
=
,求得x1和y1的表达式,把点P的坐标代入椭圆方程进而求得a和c的关系,则椭圆的离心率可得.
(2)根据(1)中a和c的关系可知F和Q的坐标,△AQF的外接圆圆心和半径,进而根据
=a,求得a,进而根据a和b,c的关系求得b,则椭圆的方程可得.
FA |
AQ |
FA |
AQ |
FA |
AQ |
AP |
8 |
5 |
PQ |
(2)根据(1)中a和c的关系可知F和Q的坐标,△AQF的外接圆圆心和半径,进而根据
|
| ||
2 |
解答:解:(1)设Q(x0,0),
由F(-c,0),A(0,b)知
=(c,b),
=(x0,-b),
∵
⊥
,
∴
•
=0,
即cx0-b2=0,解得x0=
,
设P(x1,y1),由于
=
,
得x1=
,y1=
,
∵点P在椭圆上,
∴
+
=1,整理得2b2=3ac,即2(a2-c2)=3ac,
则2e2+3e-2=0,解得e=
,
故椭圆的离心率e=
.
(2)由(1)知2b2=3ac,得到
=
a,
又由
=
,得到c=
a,
于是F(-
a,0)Q(
a,0),
△AQF的外接圆圆心为(
a,0),半径r=
|FQ|=a,
则
=a,解得a=2,∴c=1,b=
,
故所求椭圆方程为
+
=1.
由F(-c,0),A(0,b)知
FA |
AQ |
∵
FA |
AQ |
∴
FA |
AQ |
即cx0-b2=0,解得x0=
b2 |
c |
设P(x1,y1),由于
AP |
8 |
5 |
PQ |
得x1=
8b2 |
13c |
5b |
13 |
∵点P在椭圆上,
∴
(
| ||
a2 |
(
| ||
b2 |
则2e2+3e-2=0,解得e=
1 |
2 |
故椭圆的离心率e=
1 |
2 |
(2)由(1)知2b2=3ac,得到
b2 |
c |
3 |
2 |
又由
c |
a |
1 |
2 |
1 |
2 |
于是F(-
1 |
2 |
3 |
2 |
△AQF的外接圆圆心为(
1 |
2 |
1 |
2 |
则
|
| ||
2 |
3 |
故所求椭圆方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.解题的前提的是熟练掌握椭圆的基本性质.

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