Question

已知sinθ、cosθ是关于x的方程x²-ax+a=0（a∈R）的两个根．
（1）求cos（

π

2

+θ）+sin（

3π

2

+θ）的值；
（2）求tan（π-θ）-

1

tanθ

的值．

Answer 1

分析：由已知方程有解得到根的判别式大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，利用韦达定理列出方程组，利用完全平方公式变形后列出关于a的方程，求出方程的解确定出a的值，进而求出sinθ+cosθ与sinθcosθ的值，
（1）原式利用诱导公式化简，将sinθ+cosθ的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将sinθcosθ的值代入计算即可求出值．

解答：解：由已知原方程有解，得到判别式△≥0，即（-a）²-4a≥0，
∴a≥4或a≤0，
∵sinθ、cosθ是关于x的方程x²-ax+a=0（a∈R）的两个根，
∴利用韦达定理得：

sinθ+cosθ=a sinθcosθ=a

，
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，即a²-2a-1=0，
∴a=1-

2

或a=1+

2

（舍去），
∴sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-

2

，
（1）原式=-（sinθ+cosθ）=

2

-1；
（2）原式=-tan θ-

1

tanθ

=-（tanθ+

1

tanθ

）=-（

sinθ

cosθ

+

cosθ

sinθ

）=-

1

sinθcosθ

=-

1

1- 2

=

2

+1．

点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：诱导公式，韦达定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键．