Question

5．如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥面ADC₁；          
（2）求直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，求出平面ADC₁的法向量，证明$\overrightarrow{{A_1}B}•\overrightarrow m=2×2+0×（{-2}）+（{-4}）×1=0$，即可证明A₁B∥面ADC₁；
（2）求出：$\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（{-2，2，0}）$，利用向量的夹角公式，即可求直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值．

解答 （1）证明：如图，以{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$}为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A₁（0，0，4），D（1，1，0），B₁（2，0，4），C₁（0，2，4）
∴$\overrightarrow{{A_1}B}=（2，0，-4）$，$\overrightarrow{AD}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{A{C_1}}=（0，2，4）$，
设平面ADC₁的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AD}，\overrightarrow m⊥\overrightarrow{A{C_1}}$
∴$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2y+4z=0\end{array}\right.$取z=1，得y=-2，x=2，∴平面ADC₁的法向量为$\overrightarrow m=（2，-2，1）$
由此可得，$\overrightarrow{{A_1}B}•\overrightarrow m=2×2+0×（{-2}）+（{-4}）×1=0$，
又A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥面ADC₁．
（2）解：$\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（{-2，2，0}）$，设直线B₁C₁与平面ADC₁所成角为θ，则$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{{B_1}{C_1}}，\overrightarrow m＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{{B_1}{C_1}}•\overrightarrow m}|}}{{|{\overrightarrow{{B_1}{C_1}}}||{\overrightarrow m}|}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
又θ为锐角，
∴直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行，考查直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，正确运用向量法是关键，属于中档题．