题目内容

15.若函数$f(x)=\sqrt{|{x+1}|+|{x-t}|-2015}$的定义域为R,则实数t的取值范围是(  )
A.[-2015,2015]B.[-2014,2016]
C.(-∞,2014]∪[2016,+∞)D.(-∞,-2016]∪[2014,+∞)

分析 由题意可得|x+1|+|x-t|≥2015恒成立,再由绝对值的意义可得|x+1|+|x-t|的最小值为|t+1|,从而得到t的范围.

解答 解:∵函数$f(x)=\sqrt{|{x+1}|+|{x-t}|-2015}$的定义域为R,
∴|x+1|+|x-t|≥2015恒成立.
而|x+1|+|x-t|表示数轴上的x对应点到-1对应点的距离减去它到t对应点的距离,它的最小值为|t+1|,
故有|t+1|≥2015,解得t∈(-∞,-2016]∪[2014,+∞).
故选:D.

点评 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,属于中档题.

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