Question

2．已知函数f（x）=lg|x|．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）画出f（x）的图象草图；
（3）利用定义证明函数f（x）在（-∞，0）上是减函数．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的定义域，再用定义判断f（x）是定义域上的偶函数；
（2）根据f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，x＞0}\\{lg（-x），x＜0}\end{array}\right.$，画出f（x）图象的草图即可；
（3）根据x∈（-∞，0）时f（x）的解析式，用定义证明函数f（x）在（-∞，0）的单调性即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lg|x|，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）；
任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=lg|-x|=lg|x|=f（x），
∴f（x）是定义域上的偶函数；
（2）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，x＞0}\\{lg（-x），x＜0}\end{array}\right.$，
画出f（x）图象的草图，如图所示；
（3）∵x∈（-∞，0）时，f（x）=lg（-x），
∴用定义证明函数f（x）在（-∞，0）上是减函数如下：
任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=lg（-x₁）-lg（-x₂）=lg$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜0，∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，∴lg$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是（-∞，0）上的减函数．

点评 本题考查了判断函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了函数图象的画法与应用问题，是基础题目．