Question

18．已知正数x、y满足x+2$\sqrt{xy}$≤λ（x+y）恒成立，则实数λ的最小值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，求出λ的表达式，再由此构造函数y=$\frac{1+2t}{1{+t}^{2}}$，利用导数求出y的最大值，即得λ的最小值．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
且x+2$\sqrt{xy}$≤λ（x+y）恒成立，
∴λ≥$\frac{x+2\sqrt{xy}}{x+y}$=$\frac{1+2\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$恒成立；
设t=$\sqrt{\frac{y}{x}}$，t＞0，
∴得函数y=$\frac{1+2t}{1{+t}^{2}}$，
则y′=$\frac{2（1{+t}^{2}）-（1+2t）（2t）}{{（1{+t}^{2}）}^{2}}$=$\frac{2-2t-{2t}^{2}}{{（1{+t}^{2}）}^{2}}$，
令y′=0，得2-2t-2t²=0，
解得t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或t=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（不合题意，舍去），
∴当t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时，y有最大值y_max=$\frac{1+2×（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）}{1{+（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；
∴λ的最小值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用函数的导数判断函数的单调性与求最值的应用问题，是综合性题目．