题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知为坐标原点,点
的坐标为
,点
的坐标为
,其中
且
.设
.
(1)若,
,
,求方程
在区间
内的解集;
(2)若点是直线
上的动点.当
时,设函数
的值域为集合
,不等式
的解集为集合
.若
恒成立,求实数
的最大值;
(3)若函数满足“图像关于点
对称,且在
处
取得最小值”,求
、
和
满足的充要条件.
【答案】(1)(2)
(3)使得函数
满足“图像关于点
对称,且在
处
取得最小值”的充要条件是“当
时,
(
)或当
时,
(
)”
【解析】
(1)由题意,
,
时,由
,可得
,
可得,
,
,再结合
,易求得在区间
内的解集。(2)先根据辅助角公式化简
,求出值域根据
的解为0和
,故要使
恒成立,即可求出
的最大值。(3)
先根据三角函数图像特点求得,进而求得
的表达式,然后分别讨论
和
两种情况分别讨论可求得
、
和
满足的充要条件。
解:(1)由题意,
当,
,
时,
,
,则有
或
,
.
即或
,
.又因为
,故
在
内的解集为
.
(2)在该直线上,故
.因此,
,
所以,的值域
.
又的解为0和
,故要使
恒成立,只需
,而
,
即,所以
的最大值
.
(3)解:因为,设周期
.
由于函数须满足“图像关于点
对称,且在
处
取得最小值”.
因此,根据三角函数的图像特征可知,
,
.
又因为,形如的函数的图像的对称中心都是
的零点,故需满足
,而当
,
时,
因为,
;所以当且仅当
,
时,
的图像关于点
对称;此时,
,
.
(i)当时,
,进一步要使
处
取得最小值,则有
,
;又
,则有
,
;因此,由
可得
,
;
(ii)当时,
,进一步要使
处
取得最小值,则有
,
;又
,则有
,
;因此,由
可得
,
;
综上,使得函数满足“图像关于点
对称,且在
处
取得最小值”的充要条件是“当
时,
(
)或当
时,
(
)”.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某经销商从某养殖场购进某品种河蟹,并随机抽取了 100只进行统计,按重量分类统计,得到频率分布直方图如下:
(1)记事件为“从这批河蟹中任取一只,重量不超过120克”,估计
;
(2)试估计这批河蟹的平均重量;
(3)该经销商按有关规定将该品种河蟹分三个等级,并制定出销售单价如下:
等级 | 特级 | 一级 | 二级 |
重量 | |||
单价(元/只) | 40 | 20 | 10 |
试估算该经销商以每千克至多花多少元(取整)收购这批河蟹,才能获利?