Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知直线l₁：y=kx+b（b＞0）交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N．是否存在实数k，使点N在以AB为直径的圆上？若存在，求出k的所有的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设抛物线C的方程是x²=ay，
则=1，即a=4．
故所求抛物线C的方程为x²=4y． （5分）
（Ⅱ）将y=kx+b代入x²=4y得 x²-4kx-4b=0，
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则x_A+x_B=4k，x_Ax_B=-4b，（7分）
x_N=x_M==2k，代入x²=4y得y_N=k²，所以N（2k，k²），
∵N在以AB为直径的圆上，=（x_A-2k，y_A-k²），=（x_B-2k，y_B-k²），
∴=0；
∴（x_A-2k）（x_B-2k）+（y_A-k²）（y_B-k²）=0，（10分）
即（x_A-2k）（x_B-2k）+（-k²）（-k²）=0，
即（x_A-2k）（x_B-2k）[1+（x_A+2k）（x_B+2k）]=0，
∵（x_A-2k）（x_B-2k）=x_Ax_B-2k（x_A+x_B）+4k²=-4b-4k²=-4（b+k²），
由于b＞0，
∴（x_A-2k）（x_B-2k）=-4（b+k²）＜0，
∴1+（x_A+2k）（x_B+2k）=+++1=0，
即：3k²+（4-b）=0…（13分）
所以，当b≥4时，存在实数k=±；当b＜4时，不存在实数k． （15分）
分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程是x²=ay，根据焦点为F的坐标求得a，进而可得抛物线的方程；
（Ⅱ）将y=kx+b与x²=4y联立，设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），利用韦达定理得到x_A+x_B=4k，x_Ax_B=-4b，结合题意可求
N（2k，k²），N在以AB为直径的圆上?=0，最后可得到3k²+（4-b）=0，对b讨论即可．
点评：本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线的关系，着重考查抛物线与直线方程的联立，韦达定理的使用，难点在于梳理点A、B、M、N坐标间的关系并合理应用，突出化归思想、方程思想、分类讨论思想的运用，是难题．